«Решение квадратных уравнений».

Конспект урока алгебры в 8 классе по теме «Решение квадратных уравнений».

Учебник: Алгебра. 8 класс  под ред. А.Г. Мордковича.

Тип урока: урок обобщающего повторения и систематизации знаний.

Цели урока:

• Образовательные: систематизировать знания, выработать умение выбирать рациональный способ решения квадратных уравнений и создать условия контроля (самоконтроля, взаимоконтроля) усвоения знаний и умений;
• Развивающие: формировать учебно–познавательные навыки по работе с дополнительным материалом, развивать логическое мышление, внимание;
   
• Воспитательные: воспитывать интерес к математике, активность, мобильность,  взаимопомощь, умение общаться.

Оборудование:  компьютер, проектор,презентация.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Тема нашего урока «Решение квадратных уравнений». Сегодня на уроке мы с вами повторим и закрепим знания и умения решения квадратных уравнений. Каждый из вас должен уметь правильно, быстро и рационально решать квадратные уравнения. 

Герберт Спенсер, английский философ, когда-то сказал: “Дороги не те знания, которые откладываются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные мышцы”.

Проверим, кто из вас порадовал бы Герберта Спенсера.

1. Актуализация знаний.

Прежде, чем мы приступим к работе, повторим, что вы знаете по этой теме?

• Какие уравнения называются квадратными?

• Какие виды квадратных уравнений вам известны?
• Составьте полные и неполные квадратные уравнения с коэффициентами а, в, с.

• Чему равен дискриминант?
• Как по дискриминанту определить, сколько корней имеет уравнение?
• Сделать вывод о количестве корней квадратного уравнения.

х² −14х +33=0

х² - 5х + 6=0

-х² −3х +1=0

−х² +х+3=0

3х² +х=4

-2х²+8х+2=0

1. Из истории квадратных уравнений.

Историческая справка с презентацией, подготовленная учащимися (одним учащимся или группой учащихся).

Представители различных цивилизаций: Древнего Египта, Древнего Вавилона, Древней Греции, Древней Индии, Древнего Китая, Средневекового Востока, Европы овладели приемами решения квадратных уравнений.

1. Аль – Хорезми — арабский учёный, который в 825 г. написал книгу «Книга о восстановлении и противопоставлении». Это был первый в мире учебник алгебры. Он также дал шесть видов квадратных уравнений и для каждого из шести уравнений в словесной форме сформулировал особое правило его решения.

 В алгебраическом трактате аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает шесть видов уравнений, выражая их следующим образом:

 квадраты равны корням, то есть ах2 = bх;

 квадраты равны числу, то есть ах2 = с;

 корни равны числу, то есть ах = с;

 квадраты и числа равны корням, то есть ах2 + с = bх;

 квадраты и корни равны числу, то есть ах2 + bх = с;

 корни и числа равны квадратам, то есть bх + с = ах2.

 Трактат Аль-Хорезми является первой дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения. Трактаты Аль-Хорезми были в числе первых сочинений по математике переведены в Европе с арабского на латынь. До XVI в. алгебру в Европе называли искусством алгебрыи макабалы.

1. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг по поводу таких соревнований говорится следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары:

Обезьянок резвых стая

Всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая,

На поляне забавлялась.

А двенадцать по лианам.

 Стали прыгать, повисая.

 Сколько ж было обезьянок,

Ты скажи мне, в этой стае?

а)  Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.

Решение задачи Бхаскары:

(Решается учащимися в классе с помощью формул корней квадратного уравнения)

Пусть было x обезьянок, тогда на поляне забавлялось –  .

 Составим уравнение: + 12 = х

                                   Х1=48;       Х2=16

б)  Затем учащимся предлагается решить самостоятельно еще одну задачу Бхаскары. Решают квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета.

Решение задачи Бхаскары:

Сколько обезьян в стае, если квадрат пятой части, уменьшенной тремя, спрятался в пещере, и только одна осталась на виду, взобравшись на дерево?

Решение: задача сводиться к решению квадратного уравнения и

В заключении Бхаскара делает такое замечание: «Так как    есть число отрицательное, то годится только первое решение».

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х2 + bх = с, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b и с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

1. Практическая часть урока.

В школьном курсе математики подробно изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения, способ выделения квадрата двучлена, способ использования теоремы, обратной теореме Виета, графический способ.

 Имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения.

Свойства коэффициентов квадратных уравнений:

1).  Если   а + в +с = 0 , то х1 = 1; х2 = с/а

2).  Если   а + с = в, то х1 = -1; х2 = - с/а

Решите уравнения, используя эти свойства:

I вариант.                                                            

1) 14х2 – 17х + 3 = 0                                            

2)  х2 – 39х - 40 = 0                                              

3)100х2 – 83х - 18 3= 0                                        

II вариант.

1) 13х2 – 18х + 5 = 0

2)х2 + 23х - 24 = 0

3)100 х2 + 97х - 197 = 0

Ответы: 1вариант  1)1; 3/14. 2) -1;40. 3) -1;183/100.

2вариант   1)1:5/13. 2)  1; -24. 3) 1 -197/100.

1. Самостоятельная работа.

Урок подходит к концу. Сегодня мы повторили все необходимые математические понятия, формулы и способы решения квадратных уравнений. Итогом нашего урока будет небольшая самостоятельная работа.

Вариант 1

Вариант 2

Решить квадратные уравнения:      

Решить квадратные уравнения:

При каких значениях уравнение  не имеет корней.                           

Приведите пример.                       

При каких значениях уравнение  имеет два корня.  Приведите пример. 

     Тетради с решением учащиеся сдают на проверку.

1. Домашнее задание. §25, № 25.17(в,г), 25.20, 25.36
2.  Решить старинную задачу: На вопрос о возрасте одна дама ответила, что ее возраст таков, если его возвести в квадрат или умножить на 53 и из результата вычесть 696, то получится  одно и то же число.