Решение квадратичных неравенств методом интервалов

Тема: Решение квадратичных неравенств методом интервалов.

Цель урока: Формирование в учащихся умения решать квадратичные неравенства методом интервалов.

I. Проверка домашнего задания.

1. Проверить правильность выполнения домашнего задания с записями на доске, сделанными до начала урока и дополнительно заполнить таблицу.

Упражнение № 326

    a)  (x+25) (x-30) <0;                                     б)  (x+6) (x-6) >0.

   +                -                     +                                    +                    -                +

____-25_________30________                         ______-6____________6_____         

Ответ: (-25; 30)                                                 Ответ: (- ∞; -6)U(6; +∞).

Упражнение № 330

в)  (x+12) (3- x) >0;                                        г)  (6+x) (3x-1) <0

      (x+12) (x-3) <0                                              3 (x+6) (x- 1/3) <0

    +                   -                 +                               +                  -                      +

____-12___________3______                    ______-6____________1/3_______             

Ответ: (-12; 3)                                                      Ответ: (-6; 1/3).

Неравенства

Решение

(x-2) (x+3)  ≥0

(t+3) (t+4) <0

x2-4 ≥0

x2+6x≥0

II. Решение квадратичных неравенств методом интервалов.

Решение упражнений

1.Решите неравенства методом интервалов:

а)   x2-6x+8 <0;                                 б)  x2+2x+5 ≥0;

в)  - x2+6x-10 <0;                                 г)  x2-5x+7 >0.

2. Упражнения из учебника под редакцией  Ю.Н. Макарычева: № 329;          № 335;  № 338.

__________________________________________________________________

III. Формирование  у учащихся умения решать рациональные неравенства   методом интервалов.

    Рассмотрим функцию f (x)= (x+1) (x-2) (x-3).

Область определения этой функции является множество всех действительных чисел R. Нулями функции  являются числа: -1; 2; 3, которые разбивают область определения функции на промежутки (-∞; -1), (-1; 2),       (2; 3), (3; +∞).

 Выражение (x+1) (x-2) (x-3) представляет собой произведение трех множителей. Знак каждого из этих множителей и знак произведения на данных промежутках  подано в таблице:

(-∞; -1)

(-1; 2)

(2; 3)

(3; +∞)

x+1

-

+

+

+

x-2

-

-

+

+

x-3

-

-

-

+

f (x)

-

+

-

+

   Мы видим, что на каждом из промежутков (-∞; -1), (-1;2),(2; 3), (3; +∞) функция f (x) сохраняет знак, а при переходе через точки -1, 2, 3 - нули функции - ее знак изменяется.

   Вообще, пусть функция задана формулой в виде: f (x)= (x-x1) ( x- x2) (x- x3). (x- xn), где x- переменная, x1, x2, x3. xn  не равные друг другу числа. Числа x1, x2, x3,. xn - нули функции. На каждом из промежутков, на которые область определения разбивается нулями функции, знак сохраняется, а при переходе через ноль знак меняется.

  Это свойство используется для решений неравенств вида:

    (x- x1) ( x- x2) (x- x3). (x- xn) >0

    (x- x1) ( x- x2) (x- x3). (x- xn).<0,

где  x1, x2, x3,. xn - не равные между собой числа.

Например.  Решить неравенство ( x+4) (x+2) (x-1) (x-3) <0.

Решение

Обозначим на координатной прямой нули функции

       f (x) =( x+4) (x+2) (x-1) (x-3)  и найдем знак этой функции на каждом из промежутков (-∞; -4), (-4; -2), (-2; 1), (1; 3), (3; +∞). Для этого достаточно знать, какой знак имеет функция на одном из этих промежутков, используя свойство чередования знаков, определить знаки на всех остальных промежутках.

        +                  -                     +             -                +

    _______-4_______-2__________1_____2____________

Из рисунка видно, что множество решений неравенства                                                        ( x+4) (x+2) (x-1) (x-3) <0 есть объединение  промежутков  (-4; -2); (1; 3).

   Ответ: (-4; -2); (1; 3).

  Выполнение упражнений  на уроке:

1.Решите неравенство:

       а) ( x -7) ( x +5) ( x - 11) >0;

       б) ( x+ 8) ( x - 3) ( x + 6) <0;

        в) x ( x - 3) ( x+ 4) ( x + 5) ≥0;

        г) ( x - 2) ( x + 6) ( x - 9) ( x - 18) ≤0;

 2.  Решите неравенство:

        а) ( x - 3)2 ( x + 3) ≥0;

        б)  ( x - 3)3 ( x + 3) ≤0;

        в) ( x2 - 4x + 3) ( x2 + 2x - 3) ≤0;

        г)   ( x2 + 2x - 10) ( 4x - x2 - 5) ≥0.

IV. Домашнее задание:

       Решить неравенство методом интервалов:  №  327 (а; б), № 334 ( б; г; е),                

№ 337 (а; б).

V. Подведение итогов урока

     Задано неравенство ( x - 2)2 ( x + 3)3 ( x + 5) >0.

 Для решения этого неравенства методом интервалов обозначили левую часть через f (x): f (x) = ( x - 2)2 ( x + 3)3 (x + 5).

  Укажите, какие из приведеных утверждений правильные, а какие не правильные:

а) областью определения функции y = f (x)  является множество всех действительных чисел;

б) нули функции: x = 2, x = -3, x = -5;

в) знаки функции на промежутках, на которые разбивают область определения функции нули функции, чередуются;

г) знаки функции на промежутках такие:

        +                  -                     +               +

  ______-5__________-3_________2________

 д) решением неравенства является ( -∞; -5) U ( -3; 2) U ( 2; +∞).