Обобщающий урок по теме "Многоугольники"

Выступление представителя четвертой группы:

- Продлим отрезок ОД до пересечения с описанной окружностью в точке К, тогда треугольник ОКС – равносторонний со стороной, равной R, у которого высота СД является и медианой. Следовательно, ОК = 2∙ОД, т.е. R = 2r

Выступление представителя пятой группы:

- S_∆АВС = ВД∙ АС = ;

S_∆АВС =3∙ S_∆АОС (т.к. ∆АОС = ∆АОВ = ∆СОВ)

S_∆АВС = 3∙ ∙ ОД∙АС = r∙a, тогда = r∙a, = 3r или R = 2r

Выступление представителя шестой группы:

- ∆ВОL ∆ВСД (по двум углам), тогда или = R = 2r

- На примере этой задачи вы убедились, что задача может иметь несколько решений, нужно стремиться к поиску наиболее рационального решения.

Далее на доске решаем задачу из сборника заданий для подготовки к экзамену.

Задача № 2. ABCDEF – правильный шестиугольник. Перпендикуляр CH, проведенный к диагонали AD, равен 4 см. Найдите периметр и площадь шестиугольника.

Делаем рисунок, отмечаем данные (рис.1).

C

B

H

D

A

F

E

С

В

С

A

H

D

O

F

E

Рис.2

В процессе поиска решения задачи, проводим еще одну диагональ ВЕ, точка пересечения больших диагоналей О является центром правильного шестиугольника, вспоминаем, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности, проводим отрезок ОС (рис.2). Тогда треугольник ОСD – правильный и отрезок СН является медианой, высотой и биссектрисой этого треугольника, то есть равен , значит, 4 а = CD = 8 см. Р_ABCDEF = 6 , S_ABCDEF = 6 S_∆OCD = 6 = 6 = = 96 (см²).

Сообщаю учащимся, что этот способ решения задачи не единственный и дома им предстоит найти другие.

Физкульминутка, гимнастика для глаз

Задача № 3. Ребята, как вы думаете, почему пчелы «выбрали» себе для ячеек на сотах форму правильного шестиугольника? Сейчас вместе мы попытаемся ответить на этот интересный вопрос. Но сначала немного полезной информации.

- Пчеловодство – один из основных промыслов белорусов, который насчитывает многовековую историю. Сначала мед собирали у диких пчел. Оценив его качество, человек пришел к мысли приручить пчел. Постепенно он овладел искусством пчеловодства, а основной продукт жизнедеятельности пчел занял главенствующее место в питании славян.

«Божья работница» - пчела – в культуре многих народов стала чрезвычайно многоплановым символом. Она олицетворяет трудолюбие и усердие, организаторские и творческие способности, мудрость и храбрость, чистоплотность и самоотверженность, экономность и бережливость. Древние люди предполагали, что пчелы появляются на свет «сами по себе, из воска и меда», поэтому пчела ассоциировалась с целомудрием. Нередко она символизировала красноречие, недаром в разговоре употребляли выражение «медовые речи». Поскольку в прежние времена читать и писать приходилось при восковых свечах, пчелу связывали с просвещением. [2]

Итак, вернемся к вопросу поставленной задачи, почему пчелы «выбрали» себе для ячеек на сотах форму правильного шестиугольника?

Решение:

1) Из всех правильных многоугольников только треугольниками, квадратами и шестиугольниками можно заполнить плоскость без пробелов и наложений. Действительно, в этом случае, сумма углов, сходящихся в одной вершине, равна 360˚: 60˚∙ 6 = 360˚, 90˚ ∙ 4 = 360˚, 120˚ ∙ 3 = 360˚. Поэтому пчелы должны были выбрать одну из этих фигур. Почему же они выбрали именно правильный шестиугольник?

2) Сравним периметры этих многоугольников при равных площадях:

S₃ = S₄ = S₆ = S.

S₃ = ; ; P₃ = 6 ;

S₄ = a²; a = ; P₄ = 4 ;

S₆ = 6 = ; a = P₆ = 6

P₃ : P₄ : P₆ = ( 6 : (4 ) : ( 6 4,6 : 4 : 3,7

Итак, мы видим, что пчелы, не зная математики, верно «определили», что среди фигур равной площади правильный шестиугольник имеет наименьший периметр. Строя шестиугольники, пчелы наиболее экономно используют площадь внутри небольшого улья и воск для изготовления ячеек.

3. Подведение итогов урока. Рефлексия

- Что больше всего тебе запомнилось на уроке?

- Что удивило?

- Что понравились больше всего?

- Каким ты хочешь увидеть следующий урок?

4. Домашнее задание. Задачу № 2 решить другим способом, № 320 [3]

5. До свидания, всего доброго!

Литература:

1. Рабинович Е. М. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 7 – 9 классы. Геометрия. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2004

2. Котович О. В., Крук И. И. Золотые правила народной культуры. – Мн.: Адукацыя і выхаванне, 2010

3. Казаков В. В. Геометрия . 9 класс: учебное пособие. – Мн: Народная асвета, 2019

2