Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения

Цели: повторить общие методы решения уравнений; дать учащимся понятие логарифмических уравнений и способов их решения ; добиться определения способа решения логарифмического уравнения ;

Развивающие :развивать и совершенствовать умения применять имеющиеся у учащихся знания в измененной ситуации ,развивать логическое мышление ,умения делать выводы и обобщения;

Воспитательные: воспитание чувства ответственности к порученному делу; формирование культуры речи и математической культуры

Ход урока

Орг момент

Мы начинаем урок. Все пришли в хорошем настроении. Через несколько месяцев выпускные экзамены и и каждый из нас понимает ,что из каждого урока мы должны вынести как можно больше полезного и нужного..

Девиз урока:: «Уравнение представляет собой наиболее серьёзную и важную вещь в математике» ( О. Лоджа)

2. устно:

-Что называем уравнением

-что такое корень уравнения

-Какие уравнения называются равносильными

-Что называется логарифмом числа в по основанию а

-Какова область определения логарифма? Какие условия накладываются на основание логарифма?

Напомните основное логарифмическое тождество и формулу перехода к новому основанию.

-Дайте ее определение логарифмической функции

- Назовите область определения логарифмической функции

- Назовите область значения логарифмической функции

-Как зависит изменение логарифмической функции от основания а

-как называется это свойство

-Как читается утверждение (теорема ) ,являющееся следствием монотонности логарифмической функции

-Назовите основное логарифмическое тождество

-Сформулируйте основные свойства логарифмов

Вычислите

( ответ: 2)

б) ( ответ: 7,5)

г)( ответ: 2)

На доске уравнения из ЕГЭ -2017 г.

(в-1,2,3, 4,5, 7,8 10 №3,

5,6,8, № С1,)

Назвать те уравнения , которые вы знаете как их надо решать и мы с ними встречались

(Учащиеся называют)

Назовите те уравнения , которые на уроках мы с вами не решали

(Учащиеся называют тему урока)

Тема урока «Логарифмические уравнения»

Цели урока ( называют дети)

Определение логарифмического уравнения(см. презентация)

1 Актуализация опорных знаний

А) Работа по карточкам из новой темы

1)Решить уравнение

Решение.1)Потенцируя (т.е. освободившись от знаков логарифмов), получаем

2)проверим найденные корни по условиям

x² -3x-50

7-2x0

Значение х=4 не удовлетворяет этой системе неравенств(достаточно заметить, что х=4 не удовлетворяет второму неравенству системы ),т.е. х=4 –посторонний корень для заданного уравнения. Значение х=-3 удовлетворяет обоим неравенствам системы, а потому х=-3 – корень заданного уравнения

Ответ:-3

2)Решить уравнение

Решение.

1)Сначала надо преобразовать уравнение к виду(1).

Для этого воспользуемся правилом «Сумма логарифмов равна логарифму произведения». Оно позволяет заменить выражение выражением

Тогда заданное уравнение можно переписать так:

2) Потенцируя, получаем

(x+4)(2x+3)=(1-2x);

2x² +8x +3x +12 =1-2x;

2x² +13x+11 =0

x₁=-1; x₂=-5,5

Проверим найденные корни по условиям

x+40,

2x+30,

1-2x0,

(Обратите внимание: условия для проверки всегда составляют по исходному уравнению).Значение х=-1 удовлетворяет этой системе неравенств, а значение х=-5,5 не удовлетворяет –это посторонний корень

ОТВЕТ: -1.

3)Решить уравнение lg²x+lg x+1= ;

Решение. Так как lg=lgx-lg10=lg x-1, то заданное уравнение можно переписать в виде

lg²x+lg x+1=

Есть смысл ввести новую переменную y=lg x;

Тогда уравнение примет вид у²+у +1=

Далее находим:

(у-1)(у²+у +1)=7

у³-1=7;

у³=8;

у=2.

Это значение удовлетворяет условию у≠1(посмотрите: у записанного выше рационального относительно у уравнения переменная содержится в знаменателе, а потому следует проверить, не обращается ли знаменатель в 0 при найденном значении переменной у).

Итак, у=2. Но у=lgx, значит нам осталось решить простейшее логарифмическое уравнение lg x=2, откуда находим x=100.

Ответ:100.

4)Решить уравнение =0.04

Решение. Возьмём от обеих частей уравнения логарифмы по основанию 5; это-равносильное преобразование уравнения, поскольку обе части принимают только положительные значения.

Получим

Учтем, что и что

Это позволит переписать заданное уравнение в виде . Замечаем, что «проявилась» новая переменная y= , относительно которой уравнение принимает весьма простой вид: (1-y)y=-2

Далее получаем y²-y-2=0,

y₁=2, y₂=-1.

Но , значит, нам осталось решить два уравнения:

;
Из первого уравнения находим x=5², т.е. х=25; из второго уравнения находим х=5^-1; т.е. х=

Ответ: 25;

5) функционально – графический метод №509 (Г) , учебник Колмогорова

№ 1703 Учебник Мордковича ( с использованием компьютера)

Б)фронтальная работа с классом с целью систематизации и обобщения имеющихся знаний о логарифмах и уравнениях

Методы решения логарифмических уравнений

( см. презентацию)

Функционально-графический

Метод потенцирования

Метод введения новой переменной

Метод логарифмирования

Метод разложения на множители

3.Объясните ход решения

Задачи ЕГЭ ( которые остались на доске)

а);

б)2+3=2

в)lg(x-1)+lg(x+1)=3lg2+lg(x-2) [3;5]

3 группа(ИНД .Карт)

Итак, мы переходим в четвертый уч. элемент нашего урока. В этой части урока мы рассмотрим примеры из тестов ЕГЭ прошлых уч. годов. Если решение заданий части В не вызывает обычно особых затруднений для хороших учеников , то к заданиям части С, выпускники относятся с настороженностью. Сегодня мы рассмотрим одну задачу на решение логарифмического уравнения . Эта задача взята из текстов ЕГЭ

4.Решение уравнений методом введения новой переменной

Пример.

Решить уравнение:

+

Решение:

ОДЗ x

По формуле перехода к новому основанию логарифма имеем;

+ -2=0

Пусть ,тогда

a² -2a +1=0

a=1

Sin x=cos x, |:cos x

+ k,k

Учитывая ОДЗ, х=

Ответ : х=

№988(ЕГЭ) 2011 Ф.Ф.Лысенко

Метод разложения на множители

Определите способы решения уравнений: (см компьютер)

Итог урока:

Урок закончим словами древнегреческого ученого Фалеса:

Что быстрее всего?- Ум.

Что мудрее всего?- время.

Что приятнее всего? – Достичь желаемого.

Рефлексия.