Задачи на подсчет перестановок.

Тема: Задачи на подсчет числа перестановок.

г. Елец

ГА ПОУ «Елецкий медицинский колледж»

Преподаватель математики Абреимова Анна Александровна

2014 г.

Тип занятия:  изучение нового материала

Форма занятия:  практикум по решению задач

Цели урока:

образовательная

• обучать решению задач по комбинаторике

развивающая

• развивать логическое мышление
• расширять математический кругозор
• развивать навыки научно-исследовательской деятельности

воспитательная

• воспитывать культуру письма, речи
• развивать умения работать в группе
• формировать чувство ответственности за принятое решение

Задачи урока:

• отработать умения решать простейшие комбинаторные задачи
• проверить понимание материала, изученного на уроках

План занятия:

• Факториал.
• Перестановки (определение).
• Формула числа перестановок из n элементов.
• Решение задач.

Факториал числа - это произведение натуральных чисел от 1 до самого числа (включая данное число). Обозначается факториал восклицательным знаком «!».

Пример:

3! = 1 · 2 · 3 = 6

6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720

1. Факториал определён только для натуральных чисел и нуля.

2. Факториал нуля и единицы это 1.

0! = 1

1! = 1

Пример:

Задание: Вычислить

Решение: Вынесем в числителе 6!  за скобки:

Вычислить:

Пример:

Пусть имеются три книги. Обозначим их буквами a , b и с. Эти книги можно расставить на полке по-разному. a b с

Если первой поставить книгу a , то возможны такие расположения книг: a bc , a cb . a b c a c b

Если первой поставить книгу b , то возможными являются такие расположения: b ac , b ca . b a c b c a

И наконец, если первой поставить книгу с, то получим такие расположения: c ab , c ba . c a b c b a Каждое из этих расположений называют перестановкой из трёх элементов.

Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определённом порядке. Число перестановок из n элементов обозначают символом Р n (читается «Р из n »).

Число всевозможных перестановок из n элементов вычисляется по формуле:

Пример.

Сколькими способами могут быть расставлены 8 участников финального забега на восьми беговых дорожках?

Решение.

Число способов равно числу перестановок из 8 элементов.

По формуле числа перестановок находим, что P 8 =8!=1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 ·8 = 40 320.

Значит, существует 40 320 способов расстановки участников забега на восьми беговых дорожках.

Практическое задание 1:

Составить все возможные перестановки из элементов:

1.) 1;

2.) 5, 6;

3.) a, b , c .

Практическое задание 2:

Сколькими способами можно расставит на подоконнике 5 горшков с цветами?

• Дайте определение ФАКТОРИАЛА.
• Каким ЗНАКОМ обозначается факториал.
• Дайте определение ПЕРЕСТАНОВКИ.
• Назовите ФОРМУЛУ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЕРЕСТАНОВОК.

1. Теория.

Учебник:

Математика : учеб. для ссузов / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. – 5 – е изд., стереотип. – М. : Дрофа, 2008. – 395, [5] с. : ил.

Глава 16. Элементы комбинаторики и теории вероятностей.

§ 93. Пункт 2,

стр. 371 - 372.

2. Практика.

Сборник задач по математике:

учеб. Пособие для ссузов/ Н.В. Богомолов. – 8 – е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2012, - 204, [4] с.: ил.

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей.

§ 41. № 311, 316,

стр. 65

Сколько различных четырёхзначных чисел,

в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0, 2, 4, 6?

Из цифр 0, 2, 4, 6 можно получить Р 4 перестановок. Из этого числа надо исключить те перестановки, которые начинаются с 0, так как натуральное число не может начинаться с цифры 0. Число таких перестановок равно Р 3. Значит, искомое число четырёхзначных чисел (без повторения цифр), которые можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, равно

Р 4 - Р 3 = 4! – 3! = 24 – 6 = 18.

Имеется девять различных книг, четыре из которых – учебники.

Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом?

Сначала будем рассматривать учебники как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не девять, а шесть книг. Это можно сделать Р 6 способами. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить Р 4 перестановок учебников. Значит, искомое число способов расположения книг на полке равно произведению Р 6 · Р 4. Получаем:

Р 6 · Р 4 = 6! · 4! = = 17 280.

Задачи на закрепление пройденного материала.

• Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу: 1) 3 человека; 2) 5 человек?
• Сколько существует вариантов рассаживания вокруг стола: 1) 6 гостей на 6 стульях; 2) 7 гостей на 7 стульях?
• Сколькими способами можно с помощью букв K, L, M и N обозначить вершины четырехугольника?
• Сколько различных пятизначных чисел, все цифры которых различны, можно записать с помощью цифр 4, 5, 6, 7 и 8?
• Сколькими способами можно расставить на полке 8 книг, среди которых 2 книги одного автора, которые при любых перестановках должны стоять рядом?
• В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия, биология, история, физкультура, химия. Сколькими способами можно составить расписание уроков на этот день так, чтобы два урока математики стояли рядом?

Вычислить: