Презентация "Метод мажорант"

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа № 77

г.Новокузнецк, Кемеровская область

Метод мажорант

Учитель математики Федорова Татьяна Андреевна

Название метода мажорант происходит

от французских слов 

«majorer»  -

объявлять большим

«minorer» -

объявлять меньшим.

Мажорантой

данной функции f(х)

на множестве Р, называется

такое число М , что

либо f(х) ≤ М для всех х ϵ Р,

либо f(х) ≥ М для всех х ϵ Р.

Примеры функций, имеющих мажоранту

М

М

М= -1

М= 1

М

М=

М=

М

М= 0

М= π

Примеры функций, имеющих мажоранту

(m;n)-вершина

М= n

М= 0

М

М

Чтобы решить уравнение вида f(x)=g(x) или неравенства вида

f(x) ≥ g(x), f(x)≤g(x) методом мажорант

Оценить левую часть: f(x)

Оценить правую часть: g(x)

Если f(x) ≥М , при этом g(x)≤M ( или f(x) ≤М, , при этом g(x)≥M ), составить систему уравнений

f(x)=М,

g(x)= М.

Решить одно из уравнений системы

Выполнить проверку, подставив найденные корни во второе уравнение системы

Решить уравнение:

Решение:

ОДЗ: 4-х ≥ 0,

х-2 ≥ 0.

Оценим правую часть уравнения:

Оценим левую часть уравнения:

Для этого введем функцию:

Найдем производную функции:

Найдем критические точки:

3- внутренняя точка области определения =˃ 3 – критическая точка функции

max

-

+

2

4

3

-наибольшее значение функции

C одной стороны

с другой стороны

Уравнение имеет решение, если

Решение первого уравнения системы: х=3- входит в ОДЗ

Если х=3, то

Решение системы, а значит и уравнения: х=3.

Ответ:

х=3

Решить уравнение:

Решение:

Оценим левую часть уравнения:

Оценим правую часть уравнения:

C одной стороны

с другой стороны

Уравнение

имеет решение, если

Решим первое уравнение системы:

Решение системы, а значит и уравнения: х=1.

Ответ:

х=1

Решить уравнение:

Решение:

ОДЗ:

Оценим левую часть уравнения:

Перемножим два неравенства:

и

Оценим правую часть уравнения:

Складываем двойные неравенства:

Получим:

C одной стороны

с другой стороны

Уравнение

имеет решение, если

Решим второе уравнение системы:

Уравнение имеет решение, если:

у

х

Ответ:

х=2 πn,

n Ɛ Z

то:

Если:

Решить неравенство

Решение:

ОДЗ: х ˃ 0

Преобразуем выражение:

Если х ˃0 , то

,тогда

для любых х из ОДЗ

Оценим левую часть неравенства:

Для этого введем функцию:

Найдем производную функции:

Найдем критические точки:

max

+

-

1

0

max

+

-

1

0

-наибольшее значение функции

,с другой стороны

C одной стороны

Неравенство

имеет решение, если

при х=1-входит в ОДЗ.

Ответ:

х=1

Решение системы, а значит и неравенства: х=1.

16

Решить неравенство

Решение:

˃ 0

ОДЗ:

Преобразуем неравенство, умножив левую и правую части на

˃ 0

Т.к.

,то

Оценим левую часть неравенства:

Оценим правую часть неравенства:

16

C одной стороны

с другой стороны

имеет решение, если

Неравенство

Решим второе уравнение системы

˃ 0

Если

то

Ответ:

х=3

16

Найти все значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение:

Решение:

Заметим, что в силу симметричности корней, если пара (х;у) является решением системы, то и пара (-х;у) тоже решение системы. Единственность решения возможно только, если х=0.

16

у

2

2

-2

х

-2

16

Оценим левую часть уравнения:

Оценим правую часть уравнения:

C одной стороны

с другой стороны

Уравнение

имеет решение, если

Решим второе уравнение системы:

Ответ:

а=4

16

Примеры уравнений и неравенств, решаемых методом мажорант

16

Спасибо за

внимание!

Используемые ресурсы

источник шаблона:

Татарников Виталий Викторович учитель физики МОУ СОШ №20 п. Баранчинский, г. Кушва, Свердловской обл.