Презентация "Арифметическая прогрессия"

АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

Устная работа

• О последовательности (а n ) известно, что а 1 =2 , а n+1 =3 а n +1 .
• Как называется такой способ задания последовательности?
• Найдите первые четыре члена этой последовательности.

Рекуррентный способ.

а 1 = 2

а 2 =3 а 1 + 1=7

а 3 =3 а 2 +1 =22

а 4 =3 а 3 +1 =67

Что такое ПРОГРЕССИЯ?

• Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression), что означает «движение вперед» и был введен римским автором Боэцием (VI в.).
• Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин «прогрессия» в первоначально широком смысле не употребляется.
• Два важных частных вида прогрессий – арифметическая и геометрическая – сохранили свои названия.

БОЭЦИЙ

• Ани́ций Ма́нлий Торква́т Севери́н Боэ́ций , в исторических документах Ани́ций Ма́нлий Севери́н (ок.480 — 524 ( 526) ), один из наиболее авторитетных государственных деятелей своего времени, знаток и ценитель греческой и римской античности, философ-неоплатоник, теоретик музыки, христианский теолог .
• Помимо богословских трудов в трактатах по дисциплинам квадривия — арифметике («De institutione arithmetica») и музыке («De institutione musica») — передал европейской цивилизации метод и базовые знания лучших греческих авторов (преимущественно пифагорейцев) в области «математических» наук.

Боэций (слева) на фреске Рафаэля «Афинская школа»

Что общего в последовательностях?

22, 26

• 2, 6, 10, 14, 18, ….
• 11, 8, 5, 2, -1, ….
• 5, 5, 5, 5, 5, ….

-4, -7

5, 5

Арифметическая прогрессия

• Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

( a n ) - арифметическая прогрессия,

если a n+1 = a n +d ,

где d -некоторое число.

Разность арифметической прогрессии

• Число d , показывающее, на сколько следующий член последовательности отличается от предыдущего, называется разностью прогрессии.

d=a n+1 -a n

a n+1

a n

a n-1

a 3

a 1

a 2

+ d

+ d

+ d

+ d

+ d

+ d

+ d

a n 2, 6, 10, 14, 18, …. 11, 8, 5, 2, -1, …. 5, 5, 5, 5, 5, …. d =-3, a n+1 n d =0, a n+1 =a n Если в арифметической прогрессии разность положительна (d0) , то прогрессия является возрастающей . Если в арифметической прогрессии разность отрицательна ( dВ случае , если разность равна нулю ( d=0 ) и все члены прогрессии равны одному и тому же числу, последовательность называется стационарной . " width="640"

Свойства прогрессии

d =4, a n+1 a n

• 2, 6, 10, 14, 18, ….
• 11, 8, 5, 2, -1, ….
• 5, 5, 5, 5, 5, ….

d =-3, a n+1 n

d =0, a n+1 =a n

• Если в арифметической прогрессии разность положительна (d0) , то прогрессия является возрастающей .
• Если в арифметической прогрессии разность отрицательна ( d
• В случае , если разность равна нулю ( d=0 ) и все члены прогрессии равны одному и тому же числу, последовательность называется стационарной .

Задача

• На складе 1 числа было 50 тонн угля. Каждый день в течение месяца на склад приходит машина с 3 тоннами угля. Сколько угля будет на складе 30 числа, если в течение этого времени уголь со склада не расходовался.

• a 1 =50, d =3
• 1 числа: 50 т

2 числа: +1 машина (+3 т)

3 числа: +2 машины(+3·2 т)

………………………………………

30 числа:+29 машин(+3·29 т)

• a 30 =a 1 +29 d

a 30 =137

Формула n -ого члена

• a 1

a 2 =a 1 +d

a 3 =a 2 +d=a 1 +2d

a 4 =a 3 +d=a 1 +3d

…………………… ..

a n =a n-1 +d=a 1 +(n-1)d

a n =a 1 +d (n-1)

Пример 1.

• Последовательность ( а n )-арифметическая прогрессия. Найдите а 81 , если а 1 =20 и d =3 .
• Решение:

Воспользуемся формулой n-ого члена

а 81 =а 1 + d (81-1),

а 81 =20+3 ·80,

а 81 =2 60.

• Ответ: 260.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

• Пусть a n – искомый член последовательности. Воспользуемся тем, что разность между соседними членами последовательности постоянна:
• a n -a n-1 =a n+1 -a n ,

2 a n =a n-1 +a n+1 ,

a n =( a n-1 +a n+1 ):2

• Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой член этой последовательности, начиная со второго, есть среднее арифметическое соседних с ним членов!

Задача

• Последовательность ( а n )- арифметическая прогрессия. Найдите а 21 , если а 1 =5,8 и d =-1,5.

• Решение:

Воспользуемся формулой n-ого члена

а 2 1 =а 1 + d ( 2 1-1),

а 21 =5,8+(-1,5) · 2 0,

а 21 =-24,2 .

• Ответ: -24,2 .

Интересный факт

• Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой a n =kn+b, где k и b – некоторые числа.

a n =a 1 +d(n-1)=dn+(a 1 -d)

• Последовательность( a n ), заданная формулой вида

a n =kn+b, где k и b – некоторые числа, является арифметической прогрессией.

a n+1 -a n =k(n+1)+b-(kn+b)=kn+k+b+kn-b=k

Основные формулы:

• Рекуррентный способ задания арифметической прогрессии a n+1 =a n +d
• Разность прогрессии d=a n+1 -a n
• Формула n -ого члена a n =a 1 +d(n-1)
• Характеристическое свойство