Показательные уравнения и способы их решения.

Показательные уравнения и методы их решения

Автор:

учитель математики МБОУ «Средняя (полная) общеобразовательная школа №8» Елабужского муниципального района РТ

Шурыгина И.В.

Определение:

Показательные уравнения – уравнения, в которых переменная входит только в показатели степеней при постоянных основаниях .

Например,

2

Основные методы решения показательных уравнений

1.Метод уравнивания показателей.

2.Метод разложения на множители.

3. Метод введения новой переменной.

4. Функционально-графический ( он основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функции).

Метод уравнивания показателей

Показательное уравнение

равносильно уравнению

Ответ:х=1.

Используя формулу

Решим уравнение

Ответ: х=-3 .

Продолжим

Ответ: х=-6.

6

Решите уравнение и укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

Решение:

т.к. то получаем

Решите уравнение, используя свойство пропорции. В ответе укажите меньший корень.

Ответ:2-меньший корень.

Метод разложения на множители.

Решите уравнение

Ответ: x=1 .

Решите уравнения:

Ответ:х=-64 .

10

Т.к . , то вынесем за скобку степень с наибольшим показателем

Ответ:х=-1

11

Найти корни показательного уравнения, указать их сумму.

или

Ответ: 3,25 .

Решите уравнение методом введения новой переменной

Пусть ,где ,тогда

По теореме, обратной теореме Виета, получаем:

, значит , не удовлетворяет условию

Если ,то

Ответ:х=0.

13

Решите однородное уравнение

Пусть , ,тогда

не удовлетворяет условию

Если ,то ; Ответ:х=1 .

14

Решите графически , в ответ запишите положительный корень:

Ответ:х=2

Уравнения, решаемые с помощью исследования функций, входящих в левую и правую части уравнения.

Решить уравнение

Рассмотрим функции:

Функция - показательная, монотонно убывающая на R .

Функция -линейная,

монотонно возрастающая на R . Следовательно, графики данных функций могут пересекаться не более 1 раза. Значит, уравнение не может иметь более одного корня, который может быть найдет подбором: х=5.

Ответ: х=5.

Решим уравнение

Решение:

разделим левую и правую часть уравнения на

так как , получаем

Рассмотрим функцию ,данная функция

монотонно убывает на множестве неотрицательных чисел, т.к. является суммой двух убывающих показательных функций при

Следовательно, данная функция принимает каждое свое значение не более 1 раза, поэтому исходное уравнение имеет не более 1 корня, который можно найти подбором.

Зная, что получаем

Ответ:

Показательно-степенные уравнения вида

Данное уравнение эквивалентно уравнению и системе:

Отдельно рассматривается случай при условиях

Решите уравнение

Решение: 1)

2)

3) при

При подстановке получаем при х=2 равенство не имеет смысла.

Ответ: 3;4.

Решить показательное уравнение с параметром

Решить уравнение

Разложим на множители квадратные трехчлены и получим:

1. Если

то

то решений нет.

2. Если

3. Если то один корень.

Ответ: 1. При

2. При нет решений.

3. При

Литература:

Г.И.Ковалева и др. «Математика, тренировочные тематические задания повышенной сложности с ответами», Волгоград, издательство «Учитель»;

А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С.Якир «Алгебраический тренажер», Москва, «Илекса» 2001г.;

И.С.Слонимская, А.И.Слонимский, «Математика, экспресс-репетитор для подготовки к ЕГЭ, уравнения и неравенства», Москва,

«АСТ Астрель» 2009г.;

Материалы из интернет-ресурсов.