kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

  1. Главная
  2. Геометрия
  3. Презентации
  4. Четыре замечательные точки

Четыре замечательные точки

Нажмите, чтобы узнать подробности

В данной презентации наглядно разобраны теорема о свойстве биссектрисы о серединном перпендикуляре и высотах. Подробно рассмотрены 4 замечательные точки.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«Четыре замечательные точки»

Четыре замечательные точки треугольника Геометрия, 8 класс К учебнику Л.С.Атанасяна

Четыре замечательные точки треугольника

Геометрия, 8 класс

К учебнику Л.С.Атанасяна

СВОЙСТВО БИССЕКТРИСЫ УГЛА Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон. ТЕОРЕМА. В К М 1 Р 2 А Т С МК = МТ

СВОЙСТВО БИССЕКТРИСЫ УГЛА

Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.

ТЕОРЕМА.

В

К

М

1

Р

2

А

Т

С

МК = МТ

СВОЙСТВО БИССЕКТРИСЫ УГЛА Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе. ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА. В К М А Т С ∠ КАМ = ∠ ТАМ АМ - биссектриса

СВОЙСТВО БИССЕКТРИСЫ УГЛА

Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

ОБРАТНАЯ

ТЕОРЕМА.

В

К

М

А

Т

С

∠ КАМ = ∠ ТАМ

АМ - биссектриса

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. СЛЕДСТВИЕ. О – точка пересечения биссектрис АА1 и ВВ1 ОМ ⏊АВ, ОН⏊АС, ОК⏊В С В Так как ОН = ОК, то точка О равноудалена от сторон угла С, значит точка О лежит на биссектрисе угла С. М А1 О К А Н С В1 ВЫВОД: СО – биссектриса, следовательно, все три биссектрисы пересекаются в одной точке О.

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

СЛЕДСТВИЕ.

О – точка пересечения биссектрис АА1 и ВВ1

ОМ ⏊АВ, ОН⏊АС, ОК⏊В С

В

Так как ОН = ОК, то точка О равноудалена от сторон угла С, значит точка О лежит на биссектрисе угла С.

М

А1

О

К

А

Н

С

В1

ВЫВОД: СО – биссектриса, следовательно, все три биссектрисы пересекаются в одной точке О.

Серединный перпендикуляр к отрезку Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему. ОПРЕДЕЛЕНИЕ К АС = СВ КС ⏊ АВ КС – серединный перпендикуляр к отрезку АВ А С В

Серединный перпендикуляр к отрезку

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

К

АС = СВ

КС ⏊ АВ

КС – серединный перпендикуляр к отрезку АВ

А

С

В

Серединный перпендикуляр к отрезку Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равно-удалена от концов этого отрезка ТЕОРЕМА К М А С В МА = МВ

Серединный перпендикуляр к отрезку

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равно-удалена от концов этого отрезка

ТЕОРЕМА

К

М

А

С

В

МА = МВ

Серединный перпендикуляр к отрезку Каждая точка, равноудаленая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему. ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА К М Δ АМВ – равнобедренный. Проведем отрезок МС. А МС – медиана, а значит … С В МС и КС совпадают, значит точка М лежит на прямой КС ВЫВОД:

Серединный перпендикуляр к отрезку

Каждая точка, равноудаленая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

ОБРАТНАЯ

ТЕОРЕМА

К

М

Δ АМВ – равнобедренный.

Проведем отрезок МС.

А

МС – медиана, а значит …

С

В

МС и КС совпадают, значит точка М лежит на прямой КС

ВЫВОД:

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. СЛЕДСТВИЕ m - серединный перпендикуляр к АВ n - серединный перпендикуляр к АC m ∩ n = O В p m Так как ОВ = ОС, то точка О равноудалена от концов отрезка ВС, значит точка О лежит на серединном перпендикуляре p к ВС О С А ВЫВОД: все три серединных перпендикуляра m, n, p пересекаются в точке О. n

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

СЛЕДСТВИЕ

m - серединный перпендикуляр к АВ

n - серединный перпендикуляр к АC

m ∩ n = O

В

p

m

Так как ОВ = ОС, то точка О равноудалена от концов отрезка ВС, значит точка О лежит на серединном перпендикуляре p к ВС

О

С

А

ВЫВОД: все три серединных перпендикуляра m, n, p пересекаются в точке О.

n

Теорема о пересечении высот треугольника Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. В С2 А2 С – середина отрезка А2В2 А1 С1 Аналогично: А – середина отрезка В2С2 В – середина отрезка А2С2 А С В1 А2В2 ǁ АВ СС1 – серединный перпендикуляр к А2В2 А2С2 ǁ АС Аналогично: АА1 – серединный перпендикуляр к В2С2 ВВ1 – серединный перпендикуляр к А2С2 В2 В2С2 ǁ ВС ВЫВОД: Высоты АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке

Теорема о

пересечении высот

треугольника

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

В

С2

А2

С – середина отрезка А2В2

А1

С1

Аналогично:

А – середина отрезка В2С2

В – середина отрезка А2С2

А

С

В1

А2В2 ǁ АВ

СС1 – серединный перпендикуляр к А2В2

А2С2 ǁ АС

Аналогично:

АА1 – серединный перпендикуляр к В2С2

ВВ1 – серединный перпендикуляр к А2С2

В2

В2С2 ǁ ВС

ВЫВОД: Высоты АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке

Свойство медиан треугольника Задача. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 :1, считая от вершины. В M N 4 2 О 3 1 Аналогично, точка пересечения медиан СМ и ВК делит каждую из них в отношении 2 : 1. считая от вершины, и следовательно, совпадает с точкой О. С А К Вывод: Все три медианы треугольника АВС пересекаются в точке О и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Свойство медиан треугольника

Задача. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 :1, считая от вершины.

В

M

N

4

2

О

3

1

Аналогично, точка пересечения медиан СМ и ВК делит каждую из них в отношении 2 : 1. считая от вершины, и следовательно, совпадает с точкой О.

С

А

К

Вывод: Все три медианы треугольника АВС пересекаются в точке О и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.

ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА 1 точка – точка пересечения биссектрис 2 точка – точка пересечения медиан 3 точка – точка пересечения высот 4 точка – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника

ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ

ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА

1 точка – точка пересечения биссектрис

2 точка – точка пересечения медиан

3 точка – точка пересечения высот

4 точка – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника


Получите в подарок сайт учителя

Русская литература 9 класс ФГОС

Электронная тетрадь по ОБЖ 8 класс ФГОС

Решение задач по физике. Механика 7-11...

Немецкий язык 6 класс ФГОС

Электронная тетрадь по геометрии 9...

Мир мультимедиатехнологий 6 класс

Электронная тетрадь по всеобщей истории...

Геометрия 9 класс ФГОС

Предмет: Геометрия

Категория: Презентации

Целевая аудитория: 8 класс

Скачать
Четыре замечательные точки

Автор: Равилова Алина Винеровна

Дата: 30.07.2025

Номер свидетельства: 672965

Похожие файлы

object(ArrayObject)#873 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(178) "Справочный материал к уроку геометрии по теме "Четыре замечательные точки треугольника" (8 класс) "
    ["seo_title"] => string(110) "spravochnyi-matierial-k-uroku-ghieomietrii-po-tiemie-chietyrie-zamiechatiel-nyie-tochki-trieughol-nika-8-klass"
    ["file_id"] => string(6) "210874"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1431514227"
  }
}

object(ArrayObject)#895 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(108) "Обобщающий урок. Четыре замечательные точки треугольника. "
    ["seo_title"] => string(72) "obobshchaiushchii-urok-chietyrie-zamiechatiel-nyie-tochki-trieughol-nika"
    ["file_id"] => string(6) "133951"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1416633700"
  }
}

object(ArrayObject)#873 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(87) "Рабочая программа по геометрии 8 класс ( 68 часов)"
    ["seo_title"] => string(47) "rabochaiaproghrammapoghieomietrii8klass68chasov"
    ["file_id"] => string(6) "265405"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(12) "planirovanie"
    ["date"] => string(10) "1449934366"
  }
}

object(ArrayObject)#895 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(142) "Внеклассное мероприятие на тему "История длиною в четыре тысячилетия" 5 класс "
    ["seo_title"] => string(90) "vnieklassnoie-mieropriiatiie-na-tiemu-istoriia-dlinoiu-v-chietyrie-tysiachilietiia-5-klass"
    ["file_id"] => string(6) "141440"
    ["category_seo"] => string(8) "istoriya"
    ["subcategory_seo"] => string(12) "meropriyatia"
    ["date"] => string(10) "1418125777"
  }
}

object(ArrayObject)#873 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(170) "Открытое занятие на тему: «Лермонтов и музыка», посвящённое 200 – летию со дня рождения поэта. "
    ["seo_title"] => string(104) "otkrytoie-zaniatiie-na-tiemu-liermontov-i-muzyka-posviashchionnoie-200-lietiiu-so-dnia-rozhdieniia-poeta"
    ["file_id"] => string(6) "195747"
    ["category_seo"] => string(6) "muzika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1427960477"
  }
}

Перейти в личный кабинет

Полезное для учителя


Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

Распродажа видеоуроков!
1470 руб.
2260 руб.
Смотреть все комплекты
Курсы ПК и ППК для учителей!
Смотреть все курсы
ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Проверка свидетельства