Презентация на тему "Определение производной"

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ

1. Задачи, приводящие к понятию производной

∆ f = f(x 0 +∆x)-f(x 0 ) (2)

Приращение функции и приращение аргумента

y

приращение аргумента:

y=f(x)

∆ х = х - х 0 (1)

f(x)=f(x 0 + ∆x)

Приращение функции :

∆ f

f(x 0 )

∆ f = f(x)-f(x 0 ) (3)

x

=x 0 + ∆x

x 0

x

Дана функция f(x)

∆ x

значение х равно х 0 +∆х

Задача 1 (о скорости движения).

• По прямой, на которой заданы начало отсчета, единица измерения (метр) и направление, движется некоторое тело (материальная точка).
• Закон движения задан формулой s=s (t), где t — время (в секундах), s (t) — положение тела на прямой (координата движущейся материальной точки) в момент времени t по отношению к началу отсчета (в метрах).
• Найти скорость движения тела в момент времени t (в м/с).

Предположим, что в момент времени t тело находилось в точке М

пройдя путь от начала движения ОМ = s{t). Дадим аргументу t

приращение ∆t и рассмотрим момент времени t+∆t Координата

материальной точки стала другой, тело в этот момент будет

находиться в точке P : OP=s(t+∆t) Значит, за ∆t секунд тело переместилось из точки М в точку Р, т.е. прошло путь МР. Имеем:

MP=OP-OM=s(t+∆t)-s(t)=∆s Полученную разность мы назвали приращением функции.

Путь ∆s тело прошло за ∆t секунд.

Нетрудно найти среднюю скорость движения тела за промежуток времени [t;t+∆t] :

=

А что такое скорость v (t) в момент времени t (ее называют иногда

мгновенной скоростью)? Можно сказать так: это средняя скорость движения

за промежуток времени [t;t+∆t] при условии , что ∆t выбирается все меньше и

меньше; точнее: иными словами, при условии, что ∆t→0.Это значит , что

Подводя итог решению задачи 1, получаем:

Задача 2

Поднимем камешек и затем из состояния покоя отпустим его. Движение свободно падающего тела явно неравномерное. Скорость v постепенно возрастает. Но как именно выглядит зависимость v(t) ?

Фиксируем момент t , в который мы хотим знать значение скорости v(t) . Пусть h – небольшой промежуток времени, прошедший от момента t . За это время падающее тело пройдёт путь, равный s(t+h)-s(t).

Если промежуток времени h очень мал, то приближённо

s(t+h)-s(t) ≈v(t)∙h, или , причём

последнее приближённое равенство тем точнее, чем меньше h . Значит величину v(t) скорости в момент t можно рассматривать как предел , к которому стремится отношение, выражающее среднюю скорость на интервале времени от момента t до момента t+h .

Сказанное записывают в виде

Тема: Задача, приводимая к понятию “производная”

Прямая, проходящая через точку М 0 (х 0; f(х 0 )), с отрезком которой почти сливается график функции f(х),называют касательной к графику в точке х 0

y

M 0

f(x 0 )

X

0

x 0

Задача: Определить положение касательной (tg φ)

Пусть дан график функции f(х) и касательная, проходящая через точку М 0 ,которая образует с положительным направлением оси ОХ угол φ

у

Будем перемещать точку М вдоль графика, приближая её к точке М 0. Соответственно будет меняться положение секущей ММ 0

Отметим точку М, координаты которой рассмотрим как приращение координат точки М 0

f(x)

=f(x 0 +∆x)

М

Через точки М и М 0 проведём секущую, которая образует с осью ОХ угол 

А к какому углу будет стремиться угол  ?

К чему будет стремиться приращение аргумента?

При этом координата х точки М будет стремиться к х 0

∆ f

М 0

f(x 0 )



х

φ

х 0

0

х

=x 0 + ∆x

∆ x

Секущая , поворачиваясь вокруг точки М0,

приближается к положению касательной

Предельным положением секущей МоМ,

когда М неограниченно приближается к Мо, является касательная

Задача о касательной к графику функции

y

А

В

y = f(x)

М(х ,у)

∆ f(x) = f(x) - f(x 0 )

М 0 (х 0 ,у 0 )

С

∆ х=х-х 0

β

α

x 0

x

x

Задача о мгновенной величине тока

Обозначим через q = q(t) количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника за время t .

Пусть Δt – некоторый промежуток времени, Δq = q(t+Δt) – q(t) – количество электричества, протекающее через указанное сечение за промежуток времени от момента t до момента t + Δt. Тогда отношение называют средней силой тока.

Мгновенной силой тока в момент времени t называется предел отношения приращения количества электричества Δq ко времени Δt , при условии, что Δt→0 .

Выводы

Различные задачи привели в процессе решения к одной и той же математической модели – пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Значит, эту математическую модель надо специально изучить, т.е.:

• Присвоить ей новый термин.
• Ввести для неё обозначение.
• Исследовать свойства новой модели.
• Определить возможности применения нового понятия - производная

Задача о скорости химической реакции

Средняя скорость растворения соли в воде за промежуток времени [t 0 ;t 1 ] (масса соли, растворившейся в воде изменяется по закону х = f(t)) определяется по формуле .

Скорость растворения в данный момент времени

Определение производной

Производной функции f в точке х 0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при последнем стремящимся к нулю:

Возвращаясь к рассмотренным задачам, важно подчеркнуть следующее:

а) мгновенная скорость неравномерного движения есть производная от пути по времени;

б) угловой коэффициент касательной к графику функции в точке (x 0 ; f(x)) есть производная функции f(x) в точке х = х 0 ;

в) мгновенная сила тока I(t) в момент t есть производная от количества электричества q(t) по времени;

Г) скорость химической реакции в данный момент времени t есть производная от количества вещества у(t), участвующего в реакции, по времени t.

А л г о р и т м

1) ∆x = x – x 0

2) ∆f = f(x+x 0 ) – f(x 0 )

3)

4)

9

А это значит:

«…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…» Н.И. Лобачевский

• Аппарат производной можно использовать при решении геометрических задач, задач из естественных и гуманитарных наук, экономических задач оптимизационного характера.
• И, конечно, не обойтись без производной при исследовании функции и построении графиков, решении уравнений и неравенств

Основные формулы

• Средняя скорость

=

• Мгновенная скорость
• или
• Скорость изменения функции

• Значение производной в точке

• =