ПРОЕКТ: Исследование экономичности построения пчелиных сот

ПРОЕКТ: Исследование экономичности построения пчелиных сот

Выполнила: Цехаева Марьям ученица 10 класса Руководитель : Дидаева Т.М.

Человек, рожденный природой, призван сохранять все лучшее, что создано ею, и, опираясь на свой разум, умножать ее силу и красоту.

Владимир Михайлов (архитектор-монументалист)

На протяжении всей истории внимание многих людей привлекала необычная архитектура пчелиных сот. Меня также удивляет красота и правильность их построения. Это поистине математический шедевр из воска, созданный кропотливым трудом умнейших пчел.

Все рабочие процессы в семье пчел протекают строго по закону наименьшей траты сил, времени и материала. От своего гнезда до цветущих медоносов и обратно пчелы летят всегда кратчайшей дорогой по прямой. В лесу они часто пользуются просеками, в тихую погоду летят над деревьями, при ветре под защитой опушки, в горах пользуются ущельями.

Пчелиные соты представляют собой пространственный паркет, поскольку заполняют пространство так, что не остаётся просвета. В сечении соты представляют паркет из правильных шестиугольников.

Цель работы – исследование принципа построения пчелиных сот и изучение практической направленности применения этого принципа в нашей жизни

Задачи:

• Исследовать строение пчелиных сот на экономичность, вместимость и прочность, имея необходимый запас знаний по математике
• Доказать совершенство конструкции пчелиных сот
• Показать применение конструкции пчелиных сот

Я очень заинтересовалась тем, как же пчелы строят свои соты , и поставила перед собой задачу исследовать строение пчелиных сот на экономичность, вместимость и прочность, имея необходимый запас знаний по математике .

Данная задача – изучения строения пчелиных сот, является прикладной задачей, изучение и решение которой позволяет реализовать практическую (прикладную) направленность школьной математики, что очень актуально в наши дни.

Пчелиные соты всегда привлекали внимание исследователей своей изумительной красотой и изяществом. Не случайно многие авторы популярных изданий наделяют пчел геометрическими способностями

Паркетирование поверхности

Для ответа на поставленный вопрос, выполним следующие расчеты:

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна (n – 2)∙ 180°, причем все его углы равны

Пусть число углов сходящихся в одной вершине равно k. Зная, что сумма углов, сходящихся в одной вершине равна 360°, имеем

Откуда k =

• необходимо плоскость делить на многоугольники с меньшим периметром

При рассмотрении пчелиных сот с точки зрения геометрии, для достижения меньших затрат воска :

• Какими же правильными многоугольниками можно заполнить плоскость так, чтобы не было пропусков, т.е. уложить в виде паркета?

Но только правильные многоугольники могут обладать самым коротким периметром

∙ k = 360°

2; значит - 2 0, или . По смыслу задачи все значения должны быть только целыми, поэтому 4 делится нацело на n – 2 при n = 3, 4, 6 . 0 Если n = 7, то k =2,8 т.е. не существует паркета из правильных семиугольников" width="640"

Паркетирование поверхности

Если n = 4, то k = 4, т.е. в одной вершине паркета могут сходиться 4 квадрата;

Если n = 3, то k = 6, т.е. в одной вершине паркета могут сходиться 6 правильных треугольников;

Если n = 6, то k =3 , т.е. В одной вершине паркета могут сходиться 6 правильных шестиугольников

Если n = 5, то k =3,3 , т.е. не существует паркета из правильных пятиугольников

Зная, что внутренний угол правильного многоугольника меньше 180 °, имеем 2; значит - 2 0, или .

По смыслу задачи все значения должны быть только целыми, поэтому 4 делится нацело на n – 2 при n = 3, 4, 6 .

0

Если n = 7, то k =2,8 т.е. не существует паркета из правильных семиугольников

Исследование ячейки пчелиных сот

С помощью правильных треугольников также можно заполнить плоскость без пропусков

Почему же тогда пчелы используют для постройки сот правильные шестиугольники?

С помощью квадратов можно заполнить плоскость без пропусков

Выясним, какая же из рассмотренных фигур имеет наименьший периметр?

Площадь правильного треугольника:

S=

Площадь правильного шестиугольника:

а 6

а 3

а 4

Площадь квадрата:

S= a 2

S= 6 ∙ a 6 2

Выразим сторону а:

Выразим сторону а:

а 4 =

Выразим сторону а:

а 3

=2∙

a 6

=

Тогда периметр треугольника равен:

Тогда периметр квадрата равен:

Тогда периметр шестиугольника равен:

P=

2∙

3∙

P=

4∙

P=

6∙

Исследование ячейки пчелиных сот

≈ 3,7

Будем иметь:

Полученное выражение разделим

на

Тогда:

Полученное выражение раздели м

на

Р =

Р=

≈ 4,6

Р = 4

≈ 3,7

Исследование ячейки пчелиных сот

Наименьший периметр

Имеет шестиугольник !

Таким образом, работая на малом периметре, пчелы экономят воск и время!

Р

Исследование ячейки пчелиных сот

Минимум строительного материала (воска )

Совершенство конструкции пчелиных сот

Каждая стенка одной ячейки одновременно служит стенкой и для другой

Пчелиные соты обладают очень высокой прочностью

Наименьшая площадь поверхности при большой емкости

• Сотовые панели – это конструкция с внутренней алюминиевой прослойкой. Между двумя алюминиевыми листами находится наполнитель шестиугольной формы, который имеет «ячеистую» структуру. Сотовые панели широко используются в строительстве – фасады, кровли, перегородки. В перспективе могут использоваться в конструкциях интерьера транспортных средств.

• Газонные решетки - состоят из многофункциональной пространственной структуры модулей типа "пчелиные соты». Они придают травяному укрытию высокую устойчивость к механическим нагрузкам. Газонные решетки способны решить непримиримые противоречия между машинами и газонами, т.к. несмотря на тонкие стенки составных элементов, они выносят большие поверхностные нагрузки (как и прочные пчелиные соты)

• Газонные решетки предназначены для применения на автомобильных стоянках, пешеходных дорожках. Изделия в высшей степени пригодны для укрепления проходов к дому или саду, противопожарных и спасательных подъездных путей, насыпей, террас, городских участков озеленения, территории вокруг спортивных сооружений, кемпингов, временных автомобильных стоянок и других земельных участков с травяным покрытием .

Применение конструкции пчелиных сот в строительстве

Заключение

• Подводя итоги данной работы, хочется отметить совершенство конструкции пчелиных сот. Шестиугольная форма является наиболее экономичной и эффективной фигурой для строительства сот. Кроме того, соты строятся с двух сторон, и способ «крепления» каждой из ячеек не предусматривает каких-либо зазоров и нестыковок во всех трех измерениях.

• Благодаря этому на строительство одной ячейки уходит минимум воска. При такой «математической» работе расчетливые пчелы экономят около 2% воска. Иоганн Кеплер, гениальный ученый, который исследовал пчелиные соты, подсчитал, что пчела, находясь в ячейке, может контактировать с девятью другими особями: «Объем работы сократится, если две пчелы будут воздвигать одну общую стену»

• Природные закономерности, используемые пчелами при постройке сот, используются в архитектуре, при постройке ультрасовременных зданий. Сотовые телефоны работают, благодаря созданию особой сотовой сети.
• Таким образом, остается только удивляться, поражаться, восхищаться мизерной пчелкой и завидовать ее уму, мудрости и математической чуткости.

Список использованных информационных ресурсов:

1. Пчелины соты – Википедия

2. http://www.kurman.ru Математические секреты пчелиных сот

3. Штейнгауз Г.А. Математический калейдоскоп. М.: Наука, 1981